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普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]
§3.4.1第1 0课时 基本不等式的证明（1）
教学目标
（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；
（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。
教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。
教学过程
一．问题情境
1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么 并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 。
2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？
二．学生活动
引导学生作如下思考：
（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：
（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为 ，物体的质量为 ，则 ，①
，②，①，②相乘在除以 ，得
（3） 与 哪个大？
三．建构数学
1．算术平均数与几何平均数：设 为正数，则 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数。
2．用具体数据验证得：
基本不等式：
即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。
下面给出证明：
证法1：
当且仅当 即 时，取“ ”。
证法2： 要证 ，只要证
只要证 ，只要证
因为最后一个不等式成立，所以 成立，当且仅当 即 时，取“ ”。
证法3：对于正数 有 ，
3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）
（3） 的几何解释：（如图1）以 为直径作圆，在直径 上取一点 ， 过 作弦 ，则 ，
从而 ，而半径
（4）当且仅当 时，取“ ”的含义：一方面是当 时取等号，即
；另一方面是仅当 时取等号，即
。
（5）如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）．
四．数学运用
1．例题：
例1．设 为正数，证明下列不等式成立：
（1） ； （2）
证明：（1）∵ 为正数，∴ 也为正数，由基本不等式得
∴原不等式成立。
（2）∵ 均为正数，由基本不等式得 ，∴原不等式成立。
例2．已知 为两两不相等的实数，求证：
证明：∵ 为两两不相等的实数，
∴ ， ， ，
以上三式相加：
所以， ．
例3．已知 都是正数，求证 ．
证明：由 都是正数，得：
，
， ∴ ，
即 ．
例4．求证： ．
证明：∵ ， 又 ， ∴ ，
∴ ，
即 ．
2．练习：
1.给出下列结论：
（1）若 则
（2）若 则
（3）若 ，则
（4）若 ，则
其中正确的有
2．课本
五．回顾小结：
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法。
六．课外作业： 3 1，2，3，5
补充：
1． 已知 都是正数，求证： ；
2．已知 都是正数，求证： ．
普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]
§3.4.1第11课时 基本不等式的证明（2）
教学目标
（1）进一步掌握基本不等式；
（2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
教学重点，难点
基本不等式的灵活运用。
教学过程
一．问题情境
1．情境： （1）复习：基本不等式；
（2）练习：已知 ，求证：
2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。
二．建构数学
已知 都是正数，
①如果积 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
②如果和 是定值 ，那么当 时，积 有最大值 ．
证明：∵ ， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴ ，
∵上式当 时取“ ”， ∴当 时有 ；
②当 (定值)时， ∴ ，
∵上式当 时取“ ” ∴当 时有 ．
说明：①最值的含义（“ ”取最小值，“ ”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
三．数学运用
1．例题：
例1．（1）求 的最值，并求取最值时的 的值。
解：∵ ∴
于是 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值是 ，此时 ．
（2）若上题改成 ，结果将如何？
解：∵ ，于是 ，
从而 ，∴ 的最大值是 ，此时 ．
例2．求 的最大值，并求取时的 的值。
解：∵ ，∴ ，∴
则 ，当且仅当 ，即 时取等号。
∴当 时， 取得最大值4。
例3．若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为多少？
解：∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ =
，当且仅当 即 时
例4．若 ，求 的最小值。
解：∵ ，∴
当且仅当 ，即 时取等号，
∴当 时， 取最小值
2．练习：（1）若 ，求 的最值；
（2）下列函数中，最小值是 的是 （ ）
，
四．回顾小结：
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。
五．课外作业：课本 4 ， 习题3 .4 4
补充：1．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。
2．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。
3．已知 ，求函数 的最大值，并求相应的 值。
4．已知 求 的最小值，并求相应的 值。
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