(1)解：（Ⅰ）∵锐角B满足sinB=
5
3
，∴cosB=2
3
∵sin2B+cos2A+C
2
=2sinB•cosB+1+cos(A+C)
2
=2sinBcosB+1-cosB
2
=2×
5
3
×2
3
+1-2
3
2
=8
5
+3
18
．
（Ⅱ）∵cosB=a2+c2-b2
2ac
=2
3
，
∴4
3
ac=a2+c2-2≥2ac-2
∴ac≤3，当且仅当a=c=
3
时，ac取到最大值
∴ac取到最大值时，cosA=b2+c2-a2
2bc
=b
2c
=
2
2
3
=
6
6
．
∴sinA=
1-cos2A
=
1-1
6
=
30
6
∴cos(A+π
3
)=cosAcosπ
3
-sinAsinπ
3
=
6
6
×1
2
-
30
6
×
3
2
=
6
-3
10
12
(2)1）C=π/2
a^2+b^2=c^2=3，a^2+b^2>=2ab
3>=2ab
ab<=3/2
a*b最大值为1.5
Smax=1/2ab=1.5/2=0.75.
(2)A+B=2/3π
a/sinA=b/sinB=c/sinC
=2
a+b=2sinA+2sin(2/3π-A)<=2根号3
周长最大为3根号3
因为a,b,c成等比数列
设b/a=c/b=q
有b=qa
c=q²a
余弦定理
CosB=(a²+c²-b²)/2ac=(a²+(q²a)²-(qa
)²)/2aq²a
=(q^4-q^2+1)/2q^2=3/4
有q^4-5/2*q^2+1=0
求根
q^2=2
或
1/2
则
b/a=q=根号2
或
根号（1/2）
(1).
因为:cosB/cosC=-b/2a
c=-sinB/(2sinA
sinC)
所以:2cosBsinA
cosBsinC=-sinBcosC
就有:
2cosBsinA
cosBsinC
sinBcosC
=2cosBsinA
sin(B
C)
=2cosBsinA
sinA
=(2cosB
1)sinA
=0
在三角形ABC中,sinA>0
所以只有:cosB=-1/2
那么:B=120
(2).
b=根号13,a
c=4
cosB=-1/2=(a^2
c^2-b^2)/2ac=[(a
c)^2-2ac-b^2]/2ac
=(16-2ac-13)/2ac
=(3-2ac)/2ac
所以:
3-2ac=-ac
ac=3
所以由a
c=4,ac=3可以解得
a=3或者a=1
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