如表

$\because $任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，

$\therefore 3+a+b=a+b+c$，

解得$c=3$，

$a+b+c=b+c+\left(-1\right)$，

解得$a=-1$，

所以，数据从左到右依次为$3$、$-1$、$b$、$3$、$-1$、$b$，

第$9$个数与第三个数相同，即$b=2$，

所以，每$3$个数“$3$、$-1$、$2$”为一个循环组依次循环，

$\because 2014\div 3=671\ldots 1$，

$2015\div 3=671\ldots 2$，

$\therefore $第$2014$个格子中的整数与第$1$个格子中的数相同，为$3$，第$201$，$5$个格子中的整数与第$2$个格子中的数相同，为$-1$，

$3+\left(-1\right)=2$.

则第$2014$个格子与第$2015$个格子中的数之和为$2$.

故答案为：$2$.

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