堆排序
1、 堆的定义
堆是一个含有n个关键字{k1,k2,…,kn}的序列，且具有如下特性：
ki<=k2i
且 ki<=k2i+1 (1<=i<=n/2) (1)
或
ki>=k2i
且 ki>=k2i+1 (1<=i<=n/2) (2)
ki>=k2i
满足式（1）的称为极小化堆，或极小堆，或小堆，满足式（2）的称为极大化堆，或极大堆，或大堆。本节以极小化堆为例子进行讲解。
堆与完全二叉树的关系：堆是n个元素（关键字）的序列，满足完全二叉树顺序存储中结点间的关系（双亲与子女序号间的关系）。
17，28，51，33，62，96，87，51 是小顶堆
96，51，87，33，28，62，51，17 是大顶堆
二叉堆
2、 堆排序的基本问题
既然堆顶元素（关键字）是最小元素，所以它是排序序列的最小元素，输出后，将其它元素再调整成堆，新的堆顶元素是排序序列的第二个元素。如此下去，通过堆，可将一个无序序列变为一个有序序列。因此，堆排序的基本问题是：
（1） 如何建堆
（2） 如何调堆
3、 如何调堆
将最后一个元素和堆顶元素交换（相当将堆顶元素输出）后，这时，从堆顶到倒数第二元素，除堆顶元素外，其余元素均符合堆的定义。下面采用筛选法，把包括堆顶元素在内的所有元素调成堆。大堆根
void Sift(RecType R[]，int i，int m)
{ ‖假设R[i+1..m]中各元素满足堆的定义，本算法调整R[i]使序列
‖R[i..m]中各元素满足堆的性质
R=R[i]; ‖暂存“根”记录R[i]
for(j=2*i; j<=m; j*=2) ‖j<=m时，R[2i]是R[i]的左孩子
{ if(j
‖若R[i]的右孩子存在，且关键字大于左孩子，j指向R[i]的右孩子
if(R.key
{ R[i]=R[j]; ‖将R[j]换到双亲位置上
i=j; ‖修改当前被调整结点
}
else break; ‖调整完毕，退出循环
}‖for
R[i]=R; ‖最初被调整结点放入正确位置
}‖Sift
4、 如何建堆
具有n个结点的完全二叉树，其叶子结点被认为符合堆的定义，其最后一个非终端结点的编号是n/2，若从该结点开始，直到根结点，依次调用上面的筛选法，则可完成堆的建立。具体算法放在下面堆排序算法中。
5、 堆排序算法
void HeapSort(RecType R[]，int n)
{ ‖对记录序列R[1..n]进行堆排序。
for(i=n/2;i>0;i--) ‖把R[1..n]建成大顶堆
Sift(R,i,n);
for(i=n;i>1;i--)
{ ‖将堆顶记录和当前未经排序子序列R[1..i]中最后一个记录相互交换
R←→R[i];
Sift(R,1,i-1); ‖将R[1..i-1]重新调整为大顶堆
}‖for
}‖HeapSort
6、 堆排序算法分析
时间复杂度为O（nlogn），只需要一个记录大小供交换用的辅助存储空间。
堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录
其过程为：
（1）用大根堆排序的基本思想
① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
②
再将关键字最大的记录R（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
②
每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆（亦称重建堆）。
注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止
堆排序就是利用堆的数据结构进行排序，通过调整堆的结构使得关键字有一定的顺序。有最大堆和最小堆，堆排序在类似topK问题中经常应用，效率比其他内部排序算法高。
堆排序
1、
堆的定义
堆是一个含有n个关键字{k1,k2,…,kn}的序列，且具有如下特性：
ki<=k2i
且
ki<=k2i+1
(1<=i<=n/2)
(1)
或
ki>=k2i
且
ki>=k2i+1
(1<=i<=n/2)
(2)
ki>=k2i
满足式（1）的称为极小化堆，或极小堆，或小堆，满足式（2）的称为极大化堆，或极大堆，或大堆。本节以极小化堆为例子进行讲解。
堆与完全二叉树的关系：堆是n个元素（关键字）的序列，满足完全二叉树顺序存储中结点间的关系（双亲与子女序号间的关系）。
17，28，51，33，62，96，87，51
是小顶堆
96，51，87，33，28，62，51，17
是大顶堆
二叉堆
2、
堆排序的基本问题
既然堆顶元素（关键字）是最小元素，所以它是排序序列的最小元素，输出后，将其它元素再调整成堆，新的堆顶元素是排序序列的第二个元素。如此下去，通过堆，可将一个无序序列变为一个有序序列。因此，堆排序的基本问题是：
（1）
如何建堆
（2）
如何调堆
3、
如何调堆
将最后一个元素和堆顶元素交换（相当将堆顶元素输出）后，这时，从堆顶到倒数第二元素，除堆顶元素外，其余元素均符合堆的定义。下面采用筛选法，把包括堆顶元素在内的所有元素调成堆。大堆根
void
Sift(RecType
R[]，int
i，int
m)
{
‖假设R[i+1..m]中各元素满足堆的定义，本算法调整R[i]使序列
‖R[i..m]中各元素满足堆的性质
R=R[i];
‖暂存“根”记录R[i]
for(j=2*i;
j<=m;
j*=2)
‖j<=m时，R[2i]是R[i]的左孩子
{
if(j
&&
R[j].key
j++;
‖若R[i]的右孩子存在，且关键字大于左孩子，j指向R[i]的右孩子
if(R.key
‖孩子结点关键字较大
{
R[i]=R[j];
‖将R[j]换到双亲位置上
i=j;
‖修改当前被调整结点
}
else
break;
‖调整完毕，退出循环
}‖for
R[i]=R;
‖最初被调整结点放入正确位置
}‖Sift
4、
如何建堆
具有n个结点的完全二叉树，其叶子结点被认为符合堆的定义，其最后一个非终端结点的编号是n/2，若从该结点开始，直到根结点，依次调用上面的筛选法，则可完成堆的建立。具体算法放在下面堆排序算法中。
5、
堆排序算法
void
HeapSort(RecType
R[]，int
n)
{
‖对记录序列R[1..n]进行堆排序。
for(i=n/2;i>0;i--)
‖把R[1..n]建成大顶堆
Sift(R,i,n);
for(i=n;i>1;i--)
{
‖将堆顶记录和当前未经排序子序列R[1..i]中最后一个记录相互交换
R←→R[i];
Sift(R,1,i-1);
‖将R[1..i-1]重新调整为大顶堆
}‖for
}‖HeapSort
6、
堆排序算法分析
时间复杂度为O（nlogn），只需要一个记录大小供交换用的辅助存储空间。
【概念】堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]]
>=
A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。
【起源】
1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert
W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（
Heap
Sort
)。
【简介】
堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。
（1）用大根堆排序的基本思想
①
先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
②
再将关键字最大的记录R（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2)
其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。
②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。
③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)
注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止
【特点】
堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录
【算法分析】
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。
平均性能：O(N*logN)。
其他性能：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前
和排序后他们的相对位置不发生变化）。
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