1.周期序列与有限长序列的关系
如上所述，有限长序列x(n)可以看成是周期序列 只取一个周期的结果，而周期序列 则是有限长序列x(n)的周期延拓序列，即
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一般称x(n)的第一个周期从n=0到N-1的值为主值区间，所以说周期序列 是有限长序列x(n)的周期开拓，而x(n)是 的主值序列。利用矩形序列的符号RN(n)表示，
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式(6-2-2)将周期延拓和主值序列的关系表示的更加简练。为叙述方便，(6-2-1)式用如下形式表示:
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式中((n))N表示以N为周期的周期延拓序列;((n))N表示n对N求余，即如果
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则
例如，N=5， =x((n))5，则有
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2.离散傅立叶变换(DFT)的定义
设有限离散信号为x(n)，为了讨论方便，可以假定有限离散信号只在［0，N-1］内取值，这时离散信号的长度为N。根据离散傅立叶级数公式(6-1-10)和(6-1-11)，他们都是周期序列，并且存在如下关系
物探数字信号分析与处理技术图6-2-1 有限长序列及其DFT
在离散傅立叶级数变换公式中都是对主值区间0～N-1求和，完全适合于有限长序列X(k)和x(n)，即一个有限长序列的傅立叶变换仍为有限长序列(图6-2-1)，于是得到离散傅立叶变换(DFT)
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式中 ，N称为DFT变换区间长度。
这一对变换称为离散傅立叶变换(DFT)。X(k)和x(n)都是长度为N的有限长序列，已知其中的一个序列，就能唯一的确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值(可以是复值)，所以信息等量。
点数为N的有限长序列和周期为N的周期序列，都是由N个值来定义。但是在离散傅立叶变换关系之处，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示，隐含有周期性意义。
3.DFT与Z变换的关系
根据式(6-2-5)，离散傅氏变换为
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而x(n)的Z变换记为
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如果n取有限长度，则式(6-2-8)可写成
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比较式(6-2-6)和式(6-2-8)
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或
所以X(k)实际上是x(n)的Z变换X(Z)在单位圆上等间隔的采样。式(6-2-11)说明X(k)为x(n)的傅立叶变换X(eiω)在区间［0，2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同，在区间［0，2π］上的采样间隔和采样点数不同，则DFT的变换结果不同。
例设矩形序列x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。
解设变换区间长度N=8，则
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设变换区间长度N=16，则
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此例充分说明，有限长序列x(n)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度N的取值有关(图6-2-2)。
采样定理表明一个频带有限的信号可以对它进行时域采样，而不丢失任何信息。现在DFT进一步表明，对于时间有限的信号(有限长序列)，亦可对其频域采样而不丢失任何信息。这开辟了在频域采用数字技术处理的领域，具有非常重要的实际意义。
图6-2-2 X(k)与X(eiω)的关系
4.DFT的隐含周期性
根据式(6-2-6)和(6-2-7)，x(n)和X(k)均为有限长序列，但由于WknN的周期性，使(6-2-6)和(6-2-7)中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。
对任意整数m，总有WkN=W(k+mN)N，k，m，N均为整数式(6-2-6)中，X(k)满足:
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同理可以证明(6-2-7)中，
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将(6-1-7)(6-1-8)与DFT定义式(6-2-5)做比较可知，有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数 的主值序列，即X(k)= 。
标签：傅立叶,离散,变换
