2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，则集合（）
A．B．C．D．
2.设复数z满足，则（）
A．B．C．D．
3.已知，则（）
A．B．C．D．
4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若则B．若，则
C．若，则D．若，则
5.设是非零向量，学科网已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）
A．B．C．D．
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）
A．144B．120C．72D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）
A．B．C．D．
9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
10.已知点在抛物线C：的准线上，学科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
11.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，则k的最小值为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入，则输出.
14.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是.
15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.
16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
18.（本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
19.（本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，记的解集为M，的解集为N.
（1）求M；
（2）当时，证明：.
参考答案
一、选择题
1.D2.A3.C4.B5.A6.D
7.B8.C9.B10.D11.C12.B
二、填空题
13.14.15.1216.-2
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）由得，又，所以，
由余弦定理，得
又，所以
解，得或
因为，所以
（Ⅱ）在中，
由正弦定理，得
因，所以C为锐角，因此
于是
18.解：
（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此
（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
分布列为
01230.0640.2880.4320.216
因为（3，0.6），所以期望，方差
19.（Ⅰ）证明：
方法一：过点做，垂足为，连接
由可证出，
所以，即
又，
所以平面，又平面，
所以
方法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得
因而，
所以，
因此
从而，所以
（Ⅱ）方法一：在图1中，过点做，垂足为G，连接EG，因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知，
因此为二面角的平面角
在中，
由知，
因此
从而得
即二面角的正弦值为
方法二：在图2中，平面的一个法向量为
设平面的法向量，
又，
所以得其中一个
设二面角的大小为，且由题知为锐角，
则
因此，即所求二面角的正弦值为
20.解：
（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，
切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为，
由知，当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点P的坐标为
由题意知，
解得，故的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此设的方程为，其中
由在上，得
解得，因此方程为
显然，不是直线，设的方程为，点，
由
得，又是方程的根，因此
①
由，得
②
因，由题意知，所以
③
将①②代入③式整理得
解得或，因此直线的方程为
或
21.证明：
（Ⅰ）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使
（Ⅱ）考虑函数
令，则时，
记，则
由（Ⅰ）得，当时，当时，
在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点
在上是减函数，由，知存在唯一，使
所以存在唯一的，使
因此存在唯一的，使
因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使
因，所以
22.证明：
（Ⅰ）因为，所以
由于为切线，故，又由于，故，
所以，从而
由于，所以，于是，故是直径。
（Ⅱ）连接
由于是直径，故
在与中，从而，于是
由因为，所以，故
由于，所以，为直角。
于是为直径，由（Ⅰ）得
23.解：
（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下变为上点，依题意，得
由得，即曲线的方程为
故的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）由解得：，或
不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，
化为极坐标方程，并整理得
即
24.解：
（Ⅰ），
当时，由得，故；
当时，由得，故
所以的解集为
（Ⅱ）由得，解得
因此，故
当时，于是
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