规定 i²=-1，并且 i 可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算，i 叫做虚数单位。
虚数单位i的幂具有周期性，虚数单位用I表示，是欧拉在1748年在其《无穷小分析理论》中提出，但没有受到重视。1801年经高斯系统使用后，才被普遍采用。
虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。
“虚数”一词首先由笛卡儿提出。早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+bi，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。
把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。
“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。复数集C来源于英文complexnumber(复数)一词的第一个字母。
扩展资料：
基本性质
实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设i是一个未知数，然后依照i的定义，替代任何
的出现为-1的更高整数幂数也可以替代为-i，1或i，
一般地，有以下的公式：
其中mod4表示被4除的余数。i与-i方程
有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭复数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i，那么−i（不等于i）也是一个解，由于这个方程是唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。
然而，只要把其中一个解选定，并固定为i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然−i和i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i和−i之间没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。
如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+i换成−i，而把−i换成−(−i) = +i，那么所有的事实和定理都依然是正确的。
参考资料：
引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)它的平方等于-1，即i²=-1.
(2)实数可以与它进行四则运算。进行四则运算时，原有的加法、乘法运算率仍然成立。
虚数单位i定义为二次方程式
的两个解中的一个解。这方程式又可等价表达为
所以虚数单位同样可以表示为：
由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目，给它设定一个符号i。很重要的一点是，i是一个自定义的数学构造。
实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设i是一个未知数，然后依照i的定义，替代任何
的出现为-1的更高整数幂数也可以替代为-i，1或i，
一般地，有以下的公式：
其中mod4表示被4除的余数。
希望我能帮助你解疑释惑。
i的平方=-1
i就是虚数单位
高三数学课本上有
我们将形如：Z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次称为z的实部（real part)与虚部（imaginary part),分别表示为Rz=x , Im z=y. 易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设 Z1=x+iy是一个复数，称 Z2=x-iy为Z1的共轭复数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
（c与d不同时为零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd) / (c^2+d^2)]＋[(bc－ad) / (c^2+d^2)] i，
（c+di）不等于0
复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。
此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝r（cosθ＋sinθi）
式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指 数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)
复数三角形式的运算：
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。
高考的话出在第一道选择题上
i的平方=-1
i就是虚数单位
高三数学课本上有
我们将形如：z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次称为z的实部（real
part)与虚部（imaginary
part),分别表示为rz=x
,
im
z=y.
易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设
z1=x+iy是一个复数，称
z2=x-iy为z1的共轭复数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
（c与d不同时为零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd)
/
(c^2+d^2)]＋[(bc－ad)
/
(c^2+d^2)]
i，
（c+di）不等于0
复数有多种表示形式，常用形式
z＝a＋bi
叫做代数式。
此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi
用直角坐标平面上点
z（a，b
）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
...展开i的平方=-1
i就是虚数单位
高三数学课本上有
我们将形如：z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次称为z的实部（real
part)与虚部（imaginary
part),分别表示为rz=x
,
im
z=y.
易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设
z1=x+iy是一个复数，称
z2=x-iy为z1的共轭复数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
（c与d不同时为零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd)
/
(c^2+d^2)]＋[(bc－ad)
/
(c^2+d^2)]
i，
（c+di）不等于0
复数有多种表示形式，常用形式
z＝a＋bi
叫做代数式。
此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi
用直角坐标平面上点
z（a，b
）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点o为起点，点z（a，b）为终点的向量oz表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝r（cosθ＋sinθi）
式中r=
sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ
是以x轴为始边；向量oz为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指
数形式。将复数的三角形式
z＝r(
cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为
exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)
复数三角形式的运算：
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。
高考的话出在第一道选择题上收起
i的平方=-1
i就是虚数单位
Z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次称为z的实部（real part)与虚部（imaginary part),分别表示为Rz=x , Im z=y. 易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设 Z1=x+iy是一个复数，称 Z2=x-iy为Z1的共轭复数
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